回上一頁
有理數和無理數
回數學開講

在畢達哥拉斯時代, 大家認為整數就是構成數字的基礎,透過加減乘除,整數可以表達出所有的數,而這些數就是我們熟知的分數,也就是高中同學都可知道的有理數 (rational number),而一般我們認為它是 ratio 的誤寫,不過,反正我們對於分數較有概念(相對於無理數),因此叫做有理數也不錯啦!
不過儘管畢達哥拉斯時代認為整數是構成數字世界的基石,但是,他們已經知道有 √2 這一號人物,他們也知道這個數是不能由整數產生的,不過,視而不見變成他們的應付之道,而數學界也在此時首度面臨理論基礎的危機。
實數指的是數線上所有的數,分數無法填滿整個數線,因此,我們將數線上的數分成兩類:一為有理數,一為非有理數,而非有理數就稱之為無理數。無理數的代表數為 √2自然對數之底數 e 與 圓周率π。
表示數的方法除了分數外,我們更習慣於使用小數,不過,當我們使用小數時,不免要碰觸到無限小數,其中有理數必然是無限循環小數(有限小數視為 0 循環),而無理數則是無限不循環小數。 為何分數會是無限循環小數呢?因為當 a/b (假設 a,b 是兩個互質的整數)時,其餘數的可能性就只有 0,1,2,...,b-1 這幾種, 如果 0 出現,必然是整除,如果 0 都不出現,經過 b-1 次的除法後,餘數必然重複,於是循環產生,這就是分數必然為循環小數的道理。
以下是一個有趣的分數化成循環小數的例子。

1/7 = 0.142857 2/7 = 0.285714 3/7 = 0.428571
4/7 = 0.571428 5/7 = 0.714285 6/7 = 0.857142

當無理數出現後,人們研究的範圍大為擴大,數學的內容也趨於豐富,有意思的是:無理數的個數比有理數要多的多,而後,數學家將有理數的概念推廣到代數數,企圖填滿實數,無奈的是,非代數數依然存在,而有意思的是代數數和有理數也是一樣多的,這說明超越數在數線上扮演著即其重要的角色,但是至今我們對於超越數的了解卻是相當有限的。

001204 bee 製作